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Cours sur les Équations Différentielles
du Premier Ordre
1. Introduction
Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction inconnue et ses dérivées. Les équations différentielles du premier ordre sont celles qui font intervenir uniquement la dérivée première de la fonction.
2. Types d'Équations Différentielles du Premier Ordre
a) Équations différentielles à variables séparables
Une équation est à variables séparables si elle peut s’écrire sous la forme : dy/dx = f(x)g(y)
Méthode de résolution :
Séparer les variables : placer les termes en y d’un côté et ceux en x de l’autre.
Intégrer des deux côtés.
Déterminer la constante d’intégration.
Exemple : Séparons les variables : dy/dx = x * y
En intégrant : ln(y) = x^2 / 2 + C (C est une constante arbitraire)
b) Équations différentielles linéaires
Une équation différentielle est linéaire si elle peut s’écrire sous la forme : dy/dx + P(x)y = Q(x)
Méthode de résolution :
Trouver le facteur intégrant μ(x).
Multiplier toute l’équation par μ(x).
Reconnaître une dérivée et intégrer.
Exemple : Ici, P(x) = 1, donc le facteur intégrant est : μ(x) = e^x
En multipliant par μ(x) , l’équation devient : e^x dy/dx + e^x y = e^x
Reconnaissant une dérivée : d/dx (e^x y) = e^x
En intégrant : e^x y = e^x + C
3. Applications dans la Vie Quotidienne
a) Croissance et décroissance exponentielle
Les équations différentielles modélisent de nombreux phénomènes naturels comme la croissance des populations et la désintégration radioactive.
Exemple : Loi de décroissance radioactive dy/dt = -ky avec y la quantité de substance et k une constante de décroissance. La solution est : y = y₀ e^(-kt)
b) Refroidissement de Newton
La température d’un objet évoluant dans un milieu ambiant obéit à : dy/dt = -k(y - T₀) avec k une constante et T₀ la température ambiante.
4. Exercices et Résolutions
Exercice 1 : Équation à variables séparables
Résoudre :
dy/dx = 2x
Solution : En intégrant : y = x² + C (avec C une constante)
Exercice 2 : Équation différentielle linéaire
Résoudre :
dy/dx + y = e^x
Solution : Le facteur intégrant est : μ(x) = e^x
Multiplication par μ(x) : e^x dy/dx + e^x y = e^x e^x
Reconnaissance d’une dérivée : d/dx (e^x y) = e^(2x)
Intégration : e^x y = 1/2 e^(2x) + C
5. Conclusion
Les équations différentielles du premier ordre sont essentielles en sciences et en ingénierie. Elles permettent de modéliser divers phénomènes naturels et offrent des outils pour mieux comprendre le monde qui nous entoure.
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